Значение слова «первообразная»

• Первообрáзной или примити́вной функцией данной функции
  
  
  
  
  
  
  
  f
  
  (
  
  x
  
  )
  
  
  
  
  
  {\displaystyle f(x)}
  
  называют такую
  
  
  
  
  
  
  
  F
  
  (
  
  x
  
  )
  
  
  
  
  
  {\displaystyle F(x)}
  
  , производная которой (на всей области определения) равна
  
  
  
  
  
  
  
  f
  
  
  
  
  
  {\displaystyle f}
  
  , то есть
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  F
  
  ′
  
  
  
  (
  
  x
  
  )
  
  =
  
  f
  
  (
  
  x
  
  )
  
  
  
  
  
  {\displaystyle F'(x)=f(x)}
  
  . Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределённого интеграла, а сам процесс называется интегрированием.
  
  Так, например, функция
  
  
  
  
  
  
  
  F
  
  (
  
  x
  
  )
  
  =
  
  
  
  
  
  
  
  x
  
  
  
  3
  
  
  
  
  
  3
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  {\displaystyle F(x)={\frac {x^{3}}{3}}}
  
  является первообразной
  
  
  
  
  
  
  
  f
  
  (
  
  x
  
  )
  
  =
  
  
  
  x
  
  
  
  2
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  {\displaystyle f(x)=x^{2}}
  
  .
  
  Если
  
  
  
  
  
  
  
  F
  
  
  
  
  
  {\displaystyle F}
  
  — первообразная
  
  
  
  
  
  
  
  f
  
  
  
  
  
  {\displaystyle f}
  
  , то любая функция, полученная из
  
  
  
  
  
  
  
  F
  
  
  
  
  
  {\displaystyle F}
  
  добавлением константы:
  
  
  
  
  
  
  
  G
  
  (
  
  x
  
  )
  
  =
  
  F
  
  (
  
  x
  
  )
  
  +
  
  C
  
  
  
  
  
  {\displaystyle G(x)=F(x)+C}
  
  тоже является первообразной
  
  
  
  
  
  
  
  f
  
  
  
  
  
  {\displaystyle f}
  
  . Таким образом, если функция имеет первообразную, то она имеет целое семейство первообразных
  
  
  
  
  
  
  
  F
  
  (
  
  x
  
  )
  
  +
  
  C
  
  
  
  
  
  {\displaystyle F(x)+C}
  
  . Верно и обратное: если
  
  
  
  
  
  
  
  F
  
  
  
  
  
  {\displaystyle F}
  
  — первообразная
  
  
  
  
  
  
  
  f
  
  
  
  
  
  {\displaystyle f}
  
  , и функция
  
  
  
  
  
  
  
  f
  
  
  
  
  
  {\displaystyle f}
  
  определена на каком-либо интервале, тогда каждая первообразная
  
  
  
  
  
  
  
  G
  
  
  
  
  
  {\displaystyle G}
  
  отличается от
  
  
  
  
  
  
  
  F
  
  
  
  
  
  {\displaystyle F}
  
  на константу: всегда существует число
  
  
  
  
  
  
  
  C
  
  
  
  
  
  {\displaystyle C}
  
  , такое что
  
  
  
  
  
  
  
  G
  
  (
  
  x
  
  )
  
  =
  
  F
  
  (
  
  x
  
  )
  
  +
  
  C
  
  
  
  
  
  {\displaystyle G(x)=F(x)+C}
  
  для всех
  
  
  
  
  
  
  
  x
  
  
  
  
  
  {\displaystyle x}
  
  . Графики таких первообразных смещены вертикально относительно друг друга, и их положение зависит от значения
  
  
  
  
  
  
  
  C
  
  
  
  
  
  {\displaystyle C}
  
  . Число
  
  
  
  
  
  
  
  C
  
  
  
  
  
  {\displaystyle C}
  
  называют постоянной интегрирования.
  
  Например, семейство первообразных функции
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  x
  
  
  
  2
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  {\displaystyle x^{2}}
  
  является
  
  
  
  
  
  
  
  F
  
  (
  
  x
  
  )
  
  =
  
  
  
  x
  
  
  
  3
  
  
  
  
  
  
  
  /
  
  
  
  3
  
  +
  
  C
  
  
  
  
  
  {\displaystyle F(x)=x^{3}/3+C}
  
  , где
  
  
  
  
  
  
  
  C
  
  
  
  
  
  {\displaystyle C}
  
  — любое число.
  
  Если область определения функции
  
  
  
  
  
  
  
  f
  
  
  
  
  
  {\displaystyle f}
  
  не является интервалом, то её первообразные не обязаны отличаться на константу. Так, например, семейством первообразных функции
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  1
  
  
  
  x
  
  
  
  2
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  {\displaystyle {\frac {1}{x^{2}}}}
  
  являются функции
  
  
  
  
  
  
  
  −
  
  
  
  
  
  1
  
  x
  
  
  
  
  
  +

Источник: Википедия